What are the differences between these? From what I can tell, they both mean exactly the same thing. Are there any nuances to be aware of?

I think it's more an issue of collocation -- there are certain words that often go with 閉じる, like 目, 本, 門.

(There's also 閉ざす

閉める is permanent. 閉じる is not. Well, more or less.

What do you mean by "permanent"? You can say 門を閉じる and ドアを閉める; neither of those seem more or less permanent than the other.

I usually conceptualize 閉じて/開いて (とじて/ひらいて) as closing/opening something gate-like? I think because I encountered those in smart.fm for books.

【１】「閉める」は、上下、左右、前後など直線的な動きによって開いていた空間をおおう意だが、「閉じる」は、直線的な動きばかりでなく、ちょうつがいのような円弧状の動きによって空間をおおう意でも使われる。また、「会を閉じる」「店を閉じる」などは、行っていた集会、営業など機能をやめる意もある。別に、「幕が閉じる」「水門が閉じる」などしまる、ふさぐ意の自動詞もある。
【２】「閉ざす」は、しっかりと閉める意で、「戸を閉ざす」は鍵（かぎ）、錠などをかけて閉める意となる。また、「雪に閉ざされる」のように、中に閉じ込める意味がある。
【３】「ふさぐ」は、空間を埋めてなくす意味で、開け閉めを前提としないものにも用いる。物理的に空間を埋める意で用いることが多く、機能が十分に発揮されなくなることが多い。「塞ぐ」とも書く。

Man, I love the dictionary that comes with all macs. You're looking for mostly the explanation in #1. #2 and #3 I threw in there because they are also good to know.